Para responder a esta pergunta, precisamos analisar algumas equações comuns que envolvem variáveis inteiras x e y. Vamos considerar algumas equações típicas e verificar se elas possuem soluções inteiras.
1. Equação linear: ax + by = c
Esta é uma equação linear geral. Para que ela possua soluções inteiras, c deve ser um múltiplo do máximo divisor comum (MDC) de a e b. Se c não for um múltiplo do MDC de a e b, então a equação não terá soluções inteiras.
Exemplo: 2x + 3y = 5
Neste caso, o MDC de 2 e 3 é 1, e 5 é um múltiplo de 1, então a equação possui soluções inteiras.
2. Equação quadrática: x² + y² = n
Esta é uma equação que representa um círculo no plano cartesiano. Para que ela possua soluções inteiras, n deve ser um número que pode ser expresso como a soma de dois quadrados perfeitos.
Exemplo: x² + y² = 5
Neste caso, 5 não pode ser expresso como a soma de dois quadrados perfeitos (os quadrados perfeitos mais próximos são 1 e 4, cuja soma é 5, mas não há inteiros x e y que satisfaçam a equação). Portanto, esta equação não possui soluções inteiras.
3. Equação diofantina: x² – y² = k
Esta equação pode ser fatorada como (x + y)(x – y) = k. Para que ela possua soluções inteiras, k deve ser um número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros.
Exemplo: x² – y² = 7
Neste caso, 7 é um número primo, e não pode ser expresso como o produto de dois inteiros diferentes de 1 e ele mesmo. Portanto, esta equação não possui soluções inteiras.
4. Equação exponencial: 2^x = y + 3
Esta é uma equação exponencial. Para que ela possua soluções inteiras, y + 3 deve ser uma potência de 2. Se y + 3 não for uma potência de 2, então a equação não terá soluções inteiras.
Exemplo: 2^x = y + 3
Se y = 2, então y + 3 = 5, que não é uma potência de 2. Portanto, esta equação não possui soluções inteiras para y = 2.
Portanto, dentre as equações apresentadas, as que não possuem soluções inteiras são:
x² + y² = 5
x² – y² = 7
2^x = y + 3 (para y = 2)
Essas equações não possuem soluções inteiras para x e y.
